Модели теплопроводности дисперсных незасоленных мерзлых грунтов

Теплофизические свойства грунтов являются ключевыми исходными параметрами для численного моделирования теплотехнических задач, играют важную роль в обеспечении точности и достоверности получаемых результатов [6], что имеет большое значение для практики проектирования сооружений в криолитозоне, определяет его принцип, а также конструктивные особенности.

Теплопроводность грунта характеризует его способность переносить тепловую энергию и численно равна потоку тепла, проходящего через единицу площади грунта в единицу времени при температурном градиенте, равном единице, и определяется соотношением твердой, жидкой и газообразной составляющих, их химико-минеральным составом, структурными и текстурными особенностями, влажностью, фазовым состоянием воды и температурой [2—4].

В настоящее время существуют множество экспериментальных методик определения теплопроводности грунтов, каждая из которых имеет свои преимущества и недостатки применения [9].

Коэффициент теплопроводности мерзлого грунта зависит от температуры за счет уменьшения содержания незамерзшей воды при понижении температуры. Наиболее интенсивные изменения происходят в диапазоне отрицательных температур, характеризующемся фазовыми переходами воды в лед, величина которого зависит прежде всего от гранулометрического состава грунта, степени засоленности и содержания органического вещества [4][5][7].

В литературных источниках существует достаточное количество данных о влиянии минералогического состава скальных грунтов на значения теплопроводности [1], однако же для дисперсных грунтов таких исследований мало. Обусловлено это второстепенным влиянием минералогического состава дисперсных грунтов по отношению к их физическим характеристикам, однако в некоторых работах отмечается значительная зависимость теплопроводности от минерального состава [1]. При схожих физических характеристиках песков, в одном случае с содержанием кварца 86,3 % (остальную долю составляют полевые шпаты), в другом случае с содержанием кварца 22,8 % (полевые шпаты составляют 52 %), разница в значениях теплопроводности составляет около 180 %. Так, теплопроводность кварцевого песка составляет 5,04 Вт/(м∙°C) в мерзлом состоянии, 3,19 Вт/(м∙°C) — в талом. Теплопроводность полевошпатового песка — 2,78 Вт/(м∙°C) в мерзлом состоянии, 1,85 Вт/(м∙°C) — в талом [3]. Обусловлено это высокой теплопроводностью кварца — минерала с самым большим коэффициентом теплопроводности из наиболее часто встречаемых минералов, слагающих дисперсные грунты (в среднем составляет 7,8 Вт/(м∙°C) [1][3]. Теплопроводность же полевого шпата примерна равна от 2,50 Вт/(м∙°C) [1][3].

Материалы и методы

На сегодняшний момент в практике инженерно-геологических изысканий актуальными справочными данными для оценки теплопроводности дисперсных грунтов является таблица Б.8 СП 25.13330-2020 [8]. Данная таблица является обобщением для некоторых разновидностей грунтов, выделенных по классификационным показателям. В ее основе лежит взаимосвязь значений теплопроводности от плотности скелета грунта и его суммарной влажности. Использование данной таблицы, конечно, имеет явные недостатки [2], главные среди которых: отсутствие учета генезиса и возраста грунтов; отсутствие привязки к определенному региону; отсутствие верхних и нижних пределов диапазона значений теплопроводности и др.

В нашей стране, помимо вышеотмеченной справочной таблицы, уделялось достаточно мало внимания разработке универсальных формул для оценки теплопроводности. Тем не менее стоит отметить работы Р.И. Гаврильева, который предложил зависимости, позволяющие оценить теплопроводность дисперсных грунтов, горных пород, почв и надпочвенных покровов [3].

В зарубежной литературе приводится ряд методов определения теплопроводности дисперсных грунтов в талом и мерзлом состоянии, получивших широкое распространение и позволяющих прогнозировать изменение теплопроводности от температуры, водонасыщенности, минерального состава и др. В литературе они описываются как модели теплопроводности, и на данный момент существует более двадцати различных методов оценки [12]. В рамках данной статьи будут рассмотрены две наиболее распространенные модели: модель Johansen [13] и модель Farouki [11].

Метод Johansen разработан для определения теплопроводности грунтов на основе теплопроводности грунта в сухом и водонасыщенном состоянии с использованием эмпирических коэффициентов и применим для грунтов при степени водонасыщения более 20 %. В общем виде теплопроводность определяется по следующей зависимости:

λ = (λ_sat – λ_dry) k_e + λ_dry, (1)

где λ — теплопроводность грунта, Вт/(м∙°C); λ_sat — теплопроводность водонасыщенного грунта Вт/(м∙°C); λ_dry — теплопроводность сухого грунта Вт/(м∙°C), а k_e — число Керстена, д.е.

 (2)

λ_sat = (λ_s)^1 – n (λ_w)ⁿ — для талого грунта, (3)

λ_sat = (λ_s)^1 – n (λ_i)^n – θu (λ_w)^θu — для мерзлого грунта, (4)

λ_s = λ_q^q λ₀^1 – q. (5)

Число Керстена вычисляется по следующим формулам:

k_e = 0,7 log(S_r) + 1,0 — для талого грунта с содержанием глинистых частиц <5 %; (6)

k_e = log(S_r) + 1,0 — для талого грунта c содержанием глинистых частиц >5 %; (7)

k_e = S_r — для мерзлого грунта, (8)

где ρ_d — плотность сухого грунта кг/м³; ρ_s — плотность частиц грунта, кг/м³; n — пористость д.е.; λ_s — теплопроводность частиц грунта Вт/(м∙°C); q — содержание кварца, д.е.; λ_w — теплопроводность воды Вт/(м∙°C); λ_i — теплопроводность льда Вт/(м∙°C); θ_u объемное содержание незамерзшей воды, д.е.; S_r — степень водонасыщения, д.е.

Согласно методу Johansen в приведенных выше уравнениях теплопроводность кварца λ_q принимается равной 7,7 Вт/(м∙°C), а теплопроводность других минералов принимается как λ₀ = 2,0 Вт/(м∙°C) при q > 0,2 и λ₀ = 3,0 Вт/(м∙°C) при q ≤ 0,2.

При различном содержании кварца в грунте теплопроводность частиц грунта определяется по следующим формулам [13]:

λ_s = 7,7^q(2,0)^1 – q при q > 0,20, (9)

λ_s = 7,7^q(3,0)^1 – q при q < 0,20. (10)

В методе, предложенным Farouki, теплопроводность грунтов оценивается на основе средневзвешенного значения теплопроводности составляющих грунта (лед, вода, воздух, твердые частицы):

g_a = 0,035 + 0,298 S_r, (15)

g_c = 1 – 2g_a, (16)

где λ_unfrozen — теплопроводность незамерзшего грунта; Вт/(м∙°C), λ_frozen — теплопроводность мерзлого грунта Вт/(м∙°C); λ_w — теплопроводность воды, Вт/(м∙°C); λ_a — теплопроводность воздуха, Вт/(м∙°C); λ_s — теплопроводность твердых частиц, Вт/(м∙°C); λ_i — теплопроводность льда, Вт/(м∙°C); θ_w — объемное содержание воды, д.е.; θ_i — объемное содержание льда, д.е.; θ_u — объемное содержание незамерзшей воды, д.е.; F_a и F_s — коэффициенты формы твердых частиц грунта и воздуха; g_a и g_c — поправочные коэффициенты; S_r — степень водонасыщения, д.е.

Из вышеперечисленных формул особое внимание следует обратить на два параметра: содержание незамерзшей воды и содержание кварца.

В настоящее время активно развиваются методы лабораторного определения содержания незамерзшей воды. В случае отсутствия экспериментальных данных оценка содержания незамерзшей воды в грунте может осуществляться рядом эмпирических методик, однако рассмотрение этой обширной темы выходит за рамки данной статьи.

Минералогический состав дисперсных грунтов определяется очень редко и в основном для научных целей, поэтому использование в данных формулах содержания кварца без определения минералогического состава вносит неопределенность в получаемый результат и обуславливает сложность их применения в практике инженерно-геологических изысканий на данный момент. Далее будут рассмотрены способы косвенной оценки минерального состава при использовании моделей.

Исходными данными для проведения расчетов будет являться выборка мерзлых незасоленных и незаторфованных глинистых и песчаных грунтов озерно-аллювиального генезиса, отобранных на участке строительства в Ямало-Ненецком автономном округе (табл. 1).

Теплопроводность грунтов определялась методом цилиндрического зонда (модель прибора — KD2Pro) при температуре -15 °C для мерзлого состояния и +15 °C для талого состояния. Экспериментальные значения теплопроводности представляют собой усредненные результаты, полученные в трех и более опытах.

При использовании данных моделей влажность за счет незамерзшей воды учитывалась по следующей формуле (для температуры грунта -15 °C) [8]:

W_w = k_w W_P, (17)

где k_w — эмпирический коэффициент, принимаемый в зависимости от числа пластичности и температуры грунта; W_P — влажность грунта на границе пластичности, д.е.

Ввиду отсутствия сведений о минералогическом составе рассматриваемых образцов для оценки способа учета минерального состава на теплопроводность частиц и, следовательно, на общую величину теплопроводности были проведены расчеты для моделей следующими способами [10][11][13—16]:

1) λ_s = λ_sand^fsand λ_silt^fsilt λ_clay^fclay, (18)

2) λ_s = (8,8f_sand + 2,92f_clay) ⁄ (f_sand + f_clay), (19)

λ_s = 7,7^q(2,0)^1 – q при q > 20 %; λ_s = 7,7^q(3,0)^1 – q при q ≤ 20 %, (20)

где q — содержание кварца, определяемое тремя способами:

3) q = 0,5f_sand, (21)

4) q = 0,5(f_sand + f_silt), (22)

5) q = f_sand, (23)

6) λ_s = const = 2,45 Вт/(м·°C). (24)

В приведенных формулах (18)—(24): f_sand — содержание песчаных частиц, %; f_silt — содержание пылеватых частиц, %; f_clay — содержание глинистых частиц, %; λ_sand = 7,7 Вт/(м·°C), λ_silt = 2,74 Вт/(м·°C), λ_clay = 1,93 Вт/(м·°C) — теплопроводность песчаных, пылеватых и глинистых частиц соответственно.

Для каждого способа учета теплопроводности частиц были определены статистические критерии, которые позволяют оценить эффективность моделей на основе общей выборки грунтов:

1) коэффициент детерминации R²;

2) корень из среднеквадратической ошибки (RMSE), определяемый по формуле:

 (25)

3) среднее отклонение (AD), определяемое как:

 (26)

где M_j — экспериментально определенное значение теплопроводности; P_j — ожидаемое моделью значение теплопроводности, n — количество определений.

Результаты и обсуждение

Результаты статистического анализа значений теплопроводности грунтов в мерзлом и талом состоянии приведены в табл. 2, 3.

В дополнение к рассматриваемым моделям были определены статистические параметры сходимости экспериментальных результатов с табличными значениями СП 22.13330 (табл. 4).

Графики, отражающие распределение полученных значений теплопроводности приведены на рисунках 1—4.

Заключение

В результате анализа можно сделать следующие выводы: модели Johansen и Farouki демонстрируют примерно одинаковую эффективность, в целом находящуюся на удовлетворительном уровне. Наилучшим способом учета теплопроводности частиц являются метод 1, а также метод 5.

Рассматриваемые модели лучше предсказывают значения теплопроводности в мерзлом, нежели в талом состоянии.

Использование табличных значений СП 25.13330 может давать значительную погрешность в определении теплопроводности в мерзлом состоянии и меньшую погрешность в талом состоянии (на схожем уровне с рассматриваемыми моделями).

Наибольшие расхождения в ожидаемых значениях теплопроводности характерны для песков, что подтверждает значимость экспериментального определения их минералогического состава ввиду наибольшей изменчивости содержания кварца в этих грунтах.

В целом, конечно, используемая выборка грунтов является достаточно небольшой для полноценного вывода об эффективности рассматриваемых моделей. На статистические данные сходимости моделей значительное влияние оказали несколько образцов (№ 4, 15, 17), имеющие очень отличные значения теплопроводности от ожидаемых. Однако можно сделать вывод, что данные модели демонстрируют лучшую сходимость, чем табличные значения СП 25.13330. Использование в моделях ряда физических свойств конкретного образца грунта: степени водонасыщения, плотности скелета, содержания незамерзшей воды, общей влажности и льдистости, пористости, гранулометрического или минералогического состава — имеет явные преимущества.

Дальнейшее изучение данного вопроса, расширяющее количество сравниваемых моделей, выборку грунтов (включая заторфованные и засоленные), является весьма актуальной задачей.