На сегодняшний момент в практике инженерно-геологических изысканий актуальными справочными данными для оценки теплопроводности дисперсных грунтов является таблица Б.8 СП 25.13330-2020 [8]. Данная таблица является обобщением для некоторых разновидностей грунтов, выделенных по классификационным показателям. В ее основе лежит взаимосвязь значений теплопроводности от плотности скелета грунта и его суммарной влажности. Использование данной таблицы, конечно, имеет явные недостатки [2], главные среди которых: отсутствие учета генезиса и возраста грунтов; отсутствие привязки к определенному региону; отсутствие верхних и нижних пределов диапазона значений теплопроводности и др.

В нашей стране, помимо вышеотмеченной справочной таблицы, уделялось достаточно мало внимания разработке универсальных формул для оценки теплопроводности. Тем не менее стоит отметить работы Р.И. Гаврильева, который предложил зависимости, позволяющие оценить теплопроводность дисперсных грунтов, горных пород, почв и надпочвенных покровов [3].

В зарубежной литературе приводится ряд методов определения теплопроводности дисперсных грунтов в талом и мерзлом состоянии, получивших широкое распространение и позволяющих прогнозировать изменение теплопроводности от температуры, водонасыщенности, минерального состава и др. В литературе они описываются как модели теплопроводности, и на данный момент существует более двадцати различных методов оценки [12]. В рамках данной статьи будут рассмотрены две наиболее распространенные модели: модель Johansen [13] и модель Farouki [11].

Метод Johansen разработан для определения теплопроводности грунтов на основе теплопроводности грунта в сухом и водонасыщенном состоянии с использованием эмпирических коэффициентов и применим для грунтов при степени водонасыщения более 20 %. В общем виде теплопроводность определяется по следующей зависимости:

λ = (λsat – λdry) ke + λdry, (1)

где λ — теплопроводность грунта, Вт/(м∙°C); λsat — теплопроводность водонасыщенного грунта Вт/(м∙°C); λdry — теплопроводность сухого грунта Вт/(м∙°C), а ke — число Керстена, д.е.

 (2)

λsat = (λs)1 – n (λw)n — для талого грунта, (3)

λsat = (λs)1 – n (λi)n – θu (λw)θu — для мерзлого грунта, (4)

λs = λqq λ01 – q. (5)

Число Керстена вычисляется по следующим формулам:

ke = 0,7 log(Sr) + 1,0 — для талого грунта с содержанием глинистых частиц <5 %; (6)

ke = log(Sr) + 1,0 — для талого грунта c содержанием глинистых частиц >5 %; (7)

ke = Sr — для мерзлого грунта, (8)

где ρd — плотность сухого грунта кг/м3; ρs — плотность частиц грунта, кг/м3; n — пористость д.е.; λs — теплопроводность частиц грунта Вт/(м∙°C); q — содержание кварца, д.е.; λw — теплопроводность воды Вт/(м∙°C); λi — теплопроводность льда Вт/(м∙°C); θu объемное содержание незамерзшей воды, д.е.; Sr — степень водонасыщения, д.е.

Согласно методу Johansen в приведенных выше уравнениях теплопроводность кварца λq принимается равной 7,7 Вт/(м∙°C), а теплопроводность других минералов принимается как λ0 = 2,0 Вт/(м∙°C) при q > 0,2 и λ0 = 3,0 Вт/(м∙°C) при q ≤ 0,2.

При различном содержании кварца в грунте теплопроводность частиц грунта определяется по следующим формулам [13]:

λs = 7,7q(2,0)1 – q при q > 0,20, (9)

λs = 7,7q(3,0)1 – q при q < 0,20. (10)

В методе, предложенным Farouki, теплопроводность грунтов оценивается на основе средневзвешенного значения теплопроводности составляющих грунта (лед, вода, воздух, твердые частицы):

ga = 0,035 + 0,298 Sr, (15)

gc = 1 – 2ga, (16)

где λunfrozen — теплопроводность незамерзшего грунта; Вт/(м∙°C), λfrozen — теплопроводность мерзлого грунта Вт/(м∙°C); λw — теплопроводность воды, Вт/(м∙°C); λa — теплопроводность воздуха, Вт/(м∙°C); λs — теплопроводность твердых частиц, Вт/(м∙°C); λi — теплопроводность льда, Вт/(м∙°C); θw — объемное содержание воды, д.е.; θi — объемное содержание льда, д.е.; θu — объемное содержание незамерзшей воды, д.е.; Fa и Fs — коэффициенты формы твердых частиц грунта и воздуха; ga и gc — поправочные коэффициенты; Sr — степень водонасыщения, д.е.

Из вышеперечисленных формул особое внимание следует обратить на два параметра: содержание незамерзшей воды и содержание кварца.

В настоящее время активно развиваются методы лабораторного определения содержания незамерзшей воды. В случае отсутствия экспериментальных данных оценка содержания незамерзшей воды в грунте может осуществляться рядом эмпирических методик, однако рассмотрение этой обширной темы выходит за рамки данной статьи.

Минералогический состав дисперсных грунтов определяется очень редко и в основном для научных целей, поэтому использование в данных формулах содержания кварца без определения минералогического состава вносит неопределенность в получаемый результат и обуславливает сложность их применения в практике инженерно-геологических изысканий на данный момент. Далее будут рассмотрены способы косвенной оценки минерального состава при использовании моделей.

Исходными данными для проведения расчетов будет являться выборка мерзлых незасоленных и незаторфованных глинистых и песчаных грунтов озерно-аллювиального генезиса, отобранных на участке строительства в Ямало-Ненецком автономном округе (табл. 1).

Теплопроводность грунтов определялась методом цилиндрического зонда (модель прибора — KD2Pro) при температуре -15 °C для мерзлого состояния и +15 °C для талого состояния. Экспериментальные значения теплопроводности представляют собой усредненные результаты, полученные в трех и более опытах.

При использовании данных моделей влажность за счет незамерзшей воды учитывалась по следующей формуле (для температуры грунта -15 °C) [8]:

Ww = kw WP, (17)

где kw — эмпирический коэффициент, принимаемый в зависимости от числа пластичности и температуры грунта; WP — влажность грунта на границе пластичности, д.е.

Ввиду отсутствия сведений о минералогическом составе рассматриваемых образцов для оценки способа учета минерального состава на теплопроводность частиц и, следовательно, на общую величину теплопроводности были проведены расчеты для моделей следующими способами [10][11][13—16]:

1) λs = λsandfsand λsiltfsilt λclayfclay, (18)

2) λs = (8,8fsand + 2,92fclay) ⁄ (fsand + fclay), (19)

λs = 7,7q(2,0)1 – q при q > 20 %; λs = 7,7q(3,0)1 – q при q ≤ 20 %, (20)

где q — содержание кварца, определяемое тремя способами:

3) q = 0,5fsand, (21)

4) q = 0,5(fsand + fsilt), (22)

5) q = fsand, (23)

6) λs = const = 2,45 Вт/(м·°C). (24)

В приведенных формулах (18)—(24): fsand — содержание песчаных частиц, %; fsilt — содержание пылеватых частиц, %; fclay — содержание глинистых частиц, %; λsand = 7,7 Вт/(м·°C), λsilt = 2,74 Вт/(м·°C), λclay = 1,93 Вт/(м·°C) — теплопроводность песчаных, пылеватых и глинистых частиц соответственно.

Для каждого способа учета теплопроводности частиц были определены статистические критерии, которые позволяют оценить эффективность моделей на основе общей выборки грунтов:

1) коэффициент детерминации R2;

2) корень из среднеквадратической ошибки (RMSE), определяемый по формуле:

 (25)

3) среднее отклонение (AD), определяемое как:

 (26)

где Mj — экспериментально определенное значение теплопроводности; Pj — ожидаемое моделью значение теплопроводности, n — количество определений.

Результаты статистического анализа значений теплопроводности грунтов в мерзлом и талом состоянии приведены в табл. 2, 3.

В дополнение к рассматриваемым моделям были определены статистические параметры сходимости экспериментальных результатов с табличными значениями СП 22.13330 (табл. 4).

Графики, отражающие распределение полученных значений теплопроводности приведены на рисунках 1—4.

В результате анализа можно сделать следующие выводы: модели Johansen и Farouki демонстрируют примерно одинаковую эффективность, в целом находящуюся на удовлетворительном уровне. Наилучшим способом учета теплопроводности частиц являются метод 1, а также метод 5.

Рассматриваемые модели лучше предсказывают значения теплопроводности в мерзлом, нежели в талом состоянии.

Использование табличных значений СП 25.13330 может давать значительную погрешность в определении теплопроводности в мерзлом состоянии и меньшую погрешность в талом состоянии (на схожем уровне с рассматриваемыми моделями).

Наибольшие расхождения в ожидаемых значениях теплопроводности характерны для песков, что подтверждает значимость экспериментального определения их минералогического состава ввиду наибольшей изменчивости содержания кварца в этих грунтах.

В целом, конечно, используемая выборка грунтов является достаточно небольшой для полноценного вывода об эффективности рассматриваемых моделей. На статистические данные сходимости моделей значительное влияние оказали несколько образцов (№ 4, 15, 17), имеющие очень отличные значения теплопроводности от ожидаемых. Однако можно сделать вывод, что данные модели демонстрируют лучшую сходимость, чем табличные значения СП 25.13330. Использование в моделях ряда физических свойств конкретного образца грунта: степени водонасыщения, плотности скелета, содержания незамерзшей воды, общей влажности и льдистости, пористости, гранулометрического или минералогического состава — имеет явные преимущества.

Дальнейшее изучение данного вопроса, расширяющее количество сравниваемых моделей, выборку грунтов (включая заторфованные и засоленные), является весьма актуальной задачей.