Обоснование новой методики при бесконтактных измерениях в электроразведке методом сопротивлений

В семидесятых годах двадцатого века были начаты исследования с целью обоснования возможности применения бесконтактных измерений в электроразведке методом сопротивлений. Необходимость применения такой модификации возникает в различных ситуациях. Например, при проведении измерений методами сопротивлений в зонах скальных или многолетнемерзлых пород при наличии снежного покрова либо практически непроводящих искусственных покрытий. Кроме того, отсутствие необходимости заземления токовых (A, B) и измерительных (M, N) электродов позволяет многократно ускорить процесс измерений. Некоторые результаты таких исследований были опубликованы, например, в работах [2][3][12—16]. Однако теоретическое обоснование проведения бесконтактных измерений и интерпретации получаемых результатов в этих работах основывалось не на «строгом» решении соответствующей прямой задачи электродинамики, а на приближенных подходах. Причина этого, по-видимому, связана с тем, что некоторые трудности у авторов этих работ возникали при получении «строгого» решения соответствующей прямой задачи электродинамики и проведении на основе этого решения математического моделирования.

Очевидно, что проведение бесконтактных измерений в методах сопротивлений возможно лишь при переменном токе I в питающей линии AB. В случае постоянного тока I таким измерениям препятствует явление электростатической индукции. Некоторые результаты математического моделирования для электроразведки методами сопротивлений при переменном токе I = I₀cos (2πft) = I₀cos (ωt) приведены в статье [7]. Здесь I₀ — амплитуда тока, f — частота, t — время, ω — круговая частота. В этой статье были приведены решение прямой задачи электродинамики и полученные на его основе результаты математического моделирования для случая, когда линия AB переменного тока лежит на поверхности «двухслойного» проводящего полупространства. Основой для получения решения задачи послужила методика, описанная в книге [5]. Эта же методика была применена нами при получении приведенных ниже результатов математического моделирования. Ранее результаты исследований по этой тематике были представлены на конференциях [8—11]. Был также получен патент [6].

Приведенные ниже результаты численных расчетов получены при частоте f = 16 кГц. Это та рабочая частота, которая была выбрана для нескольких видов аппаратуры при бесконтактных измерениях в методах сопротивлений.

Модель и алгоритм

На рисунке 1 показана модель, для которой было получено решение прямой задачи электродинамики и проведены численные расчеты.

Горизонтальная плоскость S разделяет полупространства V₁ (воздух) и V₂ (приповерхностные горные породы). Генераторная (AB) и измерительная (MN) линии расположены в верхнем полупространстве на одной прямой, параллельной оси X, на высоте h над границей S. Решение соответствующей прямой задачи электродинамики приведено в электронной версии учебника [1]. При применении комплексной записи напряжение E_MN электрического поля E в измерительной линии MN определяет двойной интеграл (формула 1):

 (1)

где x_B ≤ x_q ≤ x_A, x_M ≤ x ≤ x_N (см. рис. 1).

Подынтегральная функция в формуле (1) — скалярная компонента E_x электрического поля E:

 (2)

которую определяет несобственный интеграл в смысле главного значения. В выражении (2) J₀[Λ×(x – x_q)], J₁[Λ×(x – x_q)] — функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядка аргумента Λ×(x – x_q), а множители f₀ и f₁ зависят от параметров показанной на рисунке 1 модели, от частоты f и от переменной интегрирования Λ. Для численного расчета несобственного интеграла в смысле главного значения в правой части формулы (2) мы пользовались преобразованием Эйлера. Применение этого преобразования описано в работе [4].

Приведенные на рисунках 2—4 результаты математического моделирования получены для предельной дипольной осевой установки (AB→0, MN→0). Для такой установки напряжение E_MN пропорционально определяемой выражением (2) компоненте E_x поля E в центре отрезка MN. Значения кажущегося удельного электрического сопротивления ρ_к для такой установки определены двумя способами. Значения ρ_к(E_x) для предельной дипольно-осевой установки определены традиционным способом по формуле: ρ_к(E_x) = K×|E_x|/I₀, где |E_x| — амплитуда компоненты E_x, K = π×x³ — коэффициент предельной дипольной осевой установки, расположенной на поверхности проводящего полупространства, а x — расстояние между центрами генераторного и измерительного диполей. Значения ρ_к(|Re E_x|) определены по амплитуде |Re E_x| реактивной составляющей Re E_x компоненты E_x меняющейся синфазно либо в противофазе с током I в генераторном диполе AB. То есть ρ_к(|Re E_x|) = K×|Re E_x|/I₀.

Результаты расчетов на рисунках 6 получены для приближающихся к реальным условиям при электроразведочных измерениях конечных расстояний между всеми электродами. Значения кажущегося удельного электрического сопротивления ρ_к на рисунке 6 определены двумя способами. При применяемом в настоящее время при бесконтактных измерениях подходе ρ_к(E_MN) = K×|E_MN |/I₀, где |E_MN | — амплитуда напряжения электрического поля в линии MN,  — коэффициент электроразведочной установки. При предлагаемом нами способе кажущееся удельное электрическое сопротивление ρ_к(Re E_MN) = K×|Re E_MN |/I₀, где |Re E_MN | — амплитуда реактивной составляющей напряжения E_MN электрического поля E в линии MN, меняющейся синфазно с током I в генераторной линии AB.

Результаты моделирования

На рисунке 2 представлены зависимости ρ_к(E_x) от разноса x. При расчетах в полупространстве V₂ была задана диэлектрическая проницаемость ε₂ = 10. Хотя легко оценить, что при частоте 16 кГц и значениях ρ₂ менее первых десятков тысяч Ом×м выбор величины ε₂ несущественен, так как при любых, реальных для горных пород значениях ε₂ и при ρ₂ < 10 000 Ом×м можно пренебречь влиянием на электромагнитное поле токов смещения в нижнем полупространстве.

Результаты моделирования, представленные на рисунке 2, показали, например, что при высоте h = 5 см величина ρ_к ≈ ρ₂, если разнос x ≈ 15 м, а при h = 10 см величина ρ_к ≈ ρ₂, если разнос x ≈ 20 м. При h = 20 см значения ρ_к значительно больше ρ₂ при любых разносах x. Если x > 25—30 м, то значения ρ_к перестают зависеть от h (индукционная асимптота).

На рисунке 3 показаны зависимости ρ_к(E_x) от разноса x при фиксированных высотах h = 5 см (а) и h = 10 см (б) и при трех значениях удельного электрического сопротивления ρ₂. Из приведенных на этом рисунке результатов моделирования следует, что при частоте f = 16 кГц, указанных выше высотах h и разносах x порядка 10 и 20 метров величина ρ_к ≈ ρ₂ только при высоких значениях ρ₂ (порядка 1000 Ом×м, как на рисунке 3 и выше).

Значения ρ_к(|Re E_x|) на рисунке 4 определены по амплитуде |Re E_x|, составляющей Re E_x, меняющейся синфазно либо в противофазе, с током I в генераторном диполе AB. То есть ρ_к(|Re E_x|) = K×|Re E_x|/I₀. Некоторые особенности графиков на этом рисунке связаны с тем, что функция Re E_x(x) не является знакопостоянной. Результаты расчетов, представленные на рисунке 4а, получены при высоте h = 5 см, а на рисунке 4б — при h = 10 см.

При сравнении рисунка 4 с рисунками 2 и 3 видно, что определение по значению |Re E_x| кажущегося удельного электрического сопротивления ρ_к при невысоких значениях ρ₂ может иметь безусловные преимущества по сравнению с применяемым сейчас определением ρ_к по величине |E_x|. В соответствии с результатами расчетов на рисунке 4 при заданной частоте f можно выбрать такой разнос x, чтобы при широких пределах изменения удельного электрического сопротивления ρ₂ значения ρ_к(|Re E_x|) были близки к ρ₂, В пределах изменения ρ₂ от 10 до 1000 Ом×м таким оптимальным является разнос x ≈ 8—10 м.

Таким образом, приведенные выше результаты численных расчетов показали, что при наиболее типичных для немерзлых осадочных горных пород удельных электрических сопротивлениях в случае бесконтактных измерений вместо амплитуды напряжения в линии MN целесообразно измерять реактивную составляющую этого напряжения, меняющуюся синфазно с током I в линии AB. Попробуем теперь дать этому физическое истолкование.

Пусть горизонтальный переменный электрический диполь AB с центром в начале декартовых координат расположен в воздухе на высоте h над плоской горизонтальной границей S однородного проводящего немагнитного полупространства с удельным электрическим сопротивлением ρ₂. В этом случае электрическое поле с напряженностью E создают следующие четыре возбудителя: 1) электрические заряды на концах отрезка AB, величины которых не зависит от ρ₂; 2) индукционное поле E, возбуждаемое первичным магнитным полем отрезка AB тока I. Это поле вообще не зависит от параметров среды; 3) индукционное поле E, возбуждаемое объемными токами проводимости и токами смещения. В ближней зоне такая составляющая поля переменного электрического диполя не зависит от электрических параметров среды (см. [1]); 4) Кулоново (гальваническое) поле E, создаваемое поверхностными зарядами с поверхностной плотностью σ, индуцированными на границе S, которое зависит от коэффициента контрастности границы S, и, следовательно, именно эта составляющая поля E зависит от удельного электрического сопротивления ρ₂ проводящего полупространства.

Если ось Z направлена по нормали к плоскости S, то поверхностная плотность зарядов σ = ε₀×ΔE_z, где ε₀ — электрическая постоянная, а ΔE_z — разрыв на этой плоскости нормальной к Sz компоненты электрического поля E. Сразу отметим, что в случае гармонически меняющегося поля плотность σ имеет две составляющие: реактивную Re σ, меняющуюся синфазно либо в противофазе с током I, и активную Im σ, отличающуюся по фазе от тока I на ±π/2 радиан. Заряды с этими плотностями — источники, соответственно, реактивной и активной составляющих поля E.

На рисунке 5 показаны примеры того, как могут быть распределены плотности зарядов Re σ и Im σ на участке плоскости S при высоте h = 20 см и двух разных значениях ρ₂. На верхних рисунках (а, б) ρ₂ = 10 Ом×м, а на нижних рисунках (в, г) ρ₂ = 10 000 Ом×м. Слева, на рисунках а, в, показаны карты Re σ, а справа, на рисунках б, г — карты Im σ.

При сравнении рисунков а, в видим, что распределение на плоскости S составляющей Re σ, а следовательно, и создаваемое этими зарядами поле Re E существенно зависит от величины ρ₂. Значения Im σ на рисунках б, г по абсолютной величине примерно на два порядка выше абсолютных величин |Re σ|, но карты Im σ на этих рисунках практически одинаковы. То есть интересующий нас (искомый) параметр ρ₂ почти не влияет на плотность Im σ и на создаваемое этими зарядами поле Im E, а также на суммарное поле E. Удельное электрическое сопротивление ρ₂ влияет на плотность Re σ и, следовательно, на поле Re E.

Графики на рисунках 2—4 и карты на рисунке 5 получены при разносе AB→0. Ниже будут представлены результаты математического моделирования для дипольной осевой установки (ДОУ) для приближающихся к реальным условиям при электроразведочных измерениях конечных расстояниях между всеми электродами.

На рисунке 6 при нескольких значениях ρ₂ представлены зависимости кажущегося удельного электрического сопротивления ρ_к от высоты h для установки B2A6M2N. То есть расстояния между (точечными) электродами B и A, а также между электродами M и N равны 2 метрам, а расстояние между электродами A и M равно 6 метрам (см. рис. 1). Сплошными линиями показаны зависимости ρ_к(E_MN) от h, где E_MN — амплитуда напряжения поля E в линии MN. Видим, что эти значения в той или иной степени позволяют оценить истинное удельное электрическое сопротивление ρ₂ проводящего полупространства только при высотах h, равных первым единицам сантиметров, особенно при невысоких значениях ρ₂. При тех пределах изменения ρ₂, при которых выполнены расчеты, и при высотах h более 8 сантиметров значения ρ_к(E_MN) практически не зависят от ρ₂.

Штрихпунктирными линиями показаны зависимости ρ_к(Re E_MN) от h. Из полученных результатов численных расчетов следует, что даже при высотах h в десятки сантиметров величины ρ_к(Re E_MN) испытывают значительное влияние ρ₂.

Заключение

Очевидно, что определение ρ_к по реактивной составляющей Re E_MN напряжения E_MN может позволить значительно расширить область применения бесконтактной модификации электроразведки методом сопротивлений.

По рассмотренной в этой работе проблематике дальнейшие исследования, по нашему мнению, следует провести по следующим направлениям:

1) Получение в аналитическом виде решения соответствующей прямой задачи электродинамики для модели среды с двумя плоскопараллельными границами. Составление соответствующих такой модели программ для компьютера и проведение численных расчетов;

2) Проведение физического моделирования с соблюдением принципов геометрического и электродинамического подобия с измерением реактивной компоненты Re E_MN;

3) Создание габаритного макета аппаратуры позволяющего измерять Re E_MN и проведение измерений с этим макетом.

Полученные авторами результаты математического моделирования могут послужить основой при конструировании серийной аппаратуры для бесконтактных измерений в методе электропрофилирования, обоснования методики измерений и интерпретации результатов измерений.