К бесконтактным измерениям в методе сопротивлений: данные математического моделирования

Еще лет 50 назад были начаты исследования с целью обоснования возможности применения бесконтактных измерений в электроразведке методом сопротивлений. Необходимость применения такой модификации возникает при проведении измерений в зонах многолетнемерзлых пород, скальных грунтов, при наличии снежного покрова или такого непроводящего искусственного покрытия, как асфальт или бетон. Кроме того, отсутствие необходимости заземления токовых и измерительных электродов позволяет значительно ускорить процесс измерений. Некоторые результаты таких исследований были опубликованы, например, в работах [4][7-9].

Теоретическое обоснование применения бесконтактных измерений и интерпретации получаемых результатов основывалось не на «строгом» решении соответствующей прямой задачи электродинамики, а на приближенных подходах. И, судя по недавним публикациям наших коллег, положение с теоретическим обоснованием метода до сих пор существенно не изменилось. Например, часть работы [2] посвящена обоснованию тех ограничений, которые имеет применяемая приближенная методика расчетов.

Ниже представлены некоторые, полученные на основе «строгого» решения соответствующей прямой задачи электродинамики, результаты математического моделирования для расположенной на небольшой высоте h над проводящим полупространством предельной дипольно осевой установки BAMN.

Понятно, что проведение бесконтактных измерений в методах сопротивления возможно лишь при переменном токе I в питающей линии AB. Некоторые результаты математического моделирования при переменном токе I = I₀ × cos (2π · f · t) в электроразведке методом сопротивлений были приведены в статьях [5][6]. Основой для получения решения задачи послужила методика, описанная в книге [3]. Эта же методика была применена при получении приведенных ниже результатов моделирования.

Начнем с относительно простой модели. На рисунке 1 показана модель, для которой были получены результаты расчетов, приведенные в статье [6] и на рисунке 2 в этой работе. Горизонтальная плоскость S разделяет полупространства V₁ и V₂. Генераторный (AB) и измерительный (MN) диполи расположены в полупространстве V₁ (в воздухе) на оси X, параллельной S, на малой высоте h₁ над границей S. Компоненту E_x напряженности электрического поля E, которой пропорционально напряжение Ε_MN поля E в предельно короткой измерительной линии MN, определяет несобственный интеграл в смысле главного значения ([1], с. 96—101). Подынтегральная функция содержит функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядка. Для вычисления таких интегралов было применено преобразование Эйлера.

Представленные в этой работе результаты моделирования получены при частоте f = 16 кГц. Это «рабочая» частота, которая была выбрана для нескольких видов аппаратуры при бесконтактных измерениях в методах сопротивлений [9]. При наших расчетах для проводящего полупространства была задана диэлектрическая проницаемость ε₂ = 10. Хотя при указанном значении f выбор величины ε₂ несуществен, так как при любых, реальных для горных пород, значениях ε можно пренебречь влиянием токов смещения в нижнем полупространстве. То есть в проводящем полупространстве электромагнитное поле — квазистационарное:

2π · f · ε₀ · ε₂ · ρ₂ << 1, (1)

где ε₀ — электрическая постоянная.

Напротив, при тех же частотах f и при очень высоких значениях ρ₁ в верхнем полупространстве (в воздухе) справедливо неравенство:

2π · f · ε₀ · ε₁ · ρ₁ >> 1. (2)

В модели, показанной на рисунке 1, электрическое поле с напряженностью E создают следующие четыре возбудителя.

1. Электрические заряды ±eна концах отрезка AB. Как показано в [1] (с. 73), при токе I = I₀ × cos(2π · f · t) и выполнении неравенства (1) e ≈ ε₀ × ρ₂ × I₀ × cos(2π · f · t). То есть величины этих зарядов пропорциональны ρ₂ и они меняются синхронно с изменением тока I. Заметим, что если заземленная линия AB лежит на границе S, то при заданном токе I заряд e ≈ 2ε₀ × ρ₂ × I₀ × cos(2π · f · t). Однако если линия AB расположена в воздухе и справедливо неравенство (2), то e ≈ (I₀ / (2π · f · ε₁)) × sin(2π · f · t). То есть изменение со временем этих (не зависящих от ρ₂) зарядов ±e и компонент создаваемого ими кулонова поля E отличается по фазе от тока I на π/2.
2. Индукционное поле E, возбуждаемое первичным магнитным полем отрезка ABтока I. Это поле вообще не зависит от параметров среды.
3. Индукционное поле E, возбуждаемое объемными токами проводимости, а также токами смещения. В окрестности диполя ABтакая составляющая поля переменного электрического диполя не зависит от электрических параметров среды (см. [1], с. 75). С увеличением расстояния от диполя и удельной электропроводности среды доля индукционной составляющей поля E возрастает, и эта составляющая зависит от удельной электропроводности γ₂=1/ρ₂.
4. Кулоново поле E, создаваемое поверхностными зарядами с поверхностной плотностью s, индуцированными на границе S. Это поле зависит от коэффициента контрастности границы S,и, следовательно, именно эта составляющая поля E зависит от удельного электрического сопротивления ρ₂ проводящего полупространства.

На рисунке 2 представлены зависимости кажущихся удельных электрических сопротивлений ρ_к(E_x) и ρ_к(|Re E_x|) от разноса x при h = 5 см и при трех значениях удельного электрического сопротивления ρ₂. Приведенные на этом рисунке значения ρ_к определены двумя способами. Величины ρ_к(E_x) определены «стандартным» способом — по амплитуде |E_x| = √(Re E_x)² + (Im E_x)² компоненты E_x, где Re E_x — реактивная составляющая, меняющаяся синфазно либо в противофазе со сторонним током I в отрезке AB, а Im E_x — активная составляющая, отличающаяся по фазе от тока I на π/2. То есть ρ_к(E_x) = K × |E_x| / I₀, где K = π · x³ — коэффициент предельной дипольно-осевой установки, расположенной на поверхности проводящего полупространства. Понятно, что для показанной на рисунке 1 модели на величину |E_x| может оказывать существенное влияние поле зарядов ±e, величины которых не зависят от ρ₂. Значения ρ_к(|Re E_x|) определены по модулю реактивной компоненты Re E_x. Понятно, что на эту компоненту не оказывают влияния заряды ±e на концах отрезка AB.

На рисунке 2 видим, что при малых разносах на величину ρ_к(E_x) практически не влияют значения ρ₂, так как величина |E_x| зависит в основном от зарядов ±e. При бóльших разносах и очень высоких значениях ρ₂ (1000 Ом·м) величины ρ_к(E_x) соответствуют значениям ρ₂, но при более низких ρ₂ (100, 10 Ом·м) определить ρ₂ по ρ_к(E_x) вряд ли возможно. При дальнейшем увеличении разноса значения ρ_к(E_x) выходят на известную в методах сопротивлений «индукционную асимптоту».

Совсем по-другому «выглядят» приведенные на рисунке 2 зависимости ρ_к(|Re E_x|) от разноса x. У них нет не зависящих от ρ₂ аномально высоких значений ρ_к при малых разносах, так как составляющая Re E_x не зависит от поля зарядов ±e на концах отрезка AB. Но при этом зависимости ρ_к(|Re E_x|) от разноса «осложнены» тем, что с увеличением разноса составляющая Re E_x меняет знак. Поэтому для определения ρ₂ по ρ_к(|Re E_x|) в зависимости от f и ожидаемых пределов изменения ρ₂ на основе результатов математического моделирования следует выбрать «оптимальный» разнос. Из показанных на рисунке 2 результатов моделирования следует, что при частоте f = 16 кГц и 10 Ом·м ≤ ρ₂ ≤ 1000 Ом·м таким оптимальным является разнос x ≈ 8—10 м.

Перейдем к результатам моделирования, полученным для более сложной и приближающейся к возможным реальным условиям при проведении бесконтактных измерений модели. На рисунке 3 показана трехслойная модель горизонтально-слоистой среды. Верхнее полупространство V₁ — воздух, нижнее полупространство V₃ — однородные по ρ горные породы, а слой V₂ при высоких значениях ρ₂ может отвечать асфальту или бетону, а при низких ρ₂ — например, влажному почвенному слою. При разработке алгоритма расчетов для этой модели потребовалось получить решение системы 8 уравнений с 8 неизвестными.

На рисунке 4 приведены зависимости ρ_к(E_x) и ρ_к(|Re E_x|) от разноса x при высоком значении удельного сопротивления ρ₂. Эти зависимости не имеют коренных отличий от тех, которые были приведены на рисунке 2. Присутствие в проводящем полупространстве слоя V₂ с высоким ρ₂ сказывается на этих зависимостях примерно так, как если бы в модели на рисунке 2 высота h₁ была заменена на большее значение h₂ (см. рис. 3).

Зависимости ρ_к(E_x) и ρ_к(|Re E_x|) от разноса x на рисунке 5 получены при низком значении удельного сопротивления ρ₂. В этом случае, особенно при высоком значении ρ₃, определение истинного удельного сопротивления ρ₃ как по ρ_к(E_x), так и по ρ_к(|Re E_x|) может быть затруднено. Это, по-видимому, обусловлено особенностями распределения поверхностных зарядов, индуцированных на границах S₁, S₁ при ρ₁>>ρ₂<<ρ₃.

Проведенное математическое моделирование на основе строгого решения прямой задачи электродинамики подтвердило принципиальную возможность применения бесконтактных измерений в методе сопротивлений. Показано, что традиционный подход, основанный на использовании величины |E_x|, может приводить к значительным погрешностям при интерпретации данных, особенно на малых разносах, где доминирующее влияние оказывает поле зарядов на концах токовой линии, не зависящее от свойств среды.

Установлено, что использование реактивной составляющей поля позволяет исключить это влияние и получить более устойчивую связь между кажущимся и истинным удельным электрическим сопротивлением. Для двухслойной модели определен оптимальный диапазон разносов (около 8—10 м для частоты 16 кГц).

Для более сложной трехслойной модели показано, что наличие промежуточного слоя с высоким сопротивлением (типа асфальта) качественно эквивалентно увеличению высоты подъема установки, в то время как слой с низким сопротивлением (влажный грунт) существенно осложняет интерпретацию и определение параметров нижележащей толщи.

Таким образом, разработанный подход, основанный на измерении и анализе реактивной составляющей электрического поля, открывает перспективы для создания эффективной методики бесконтактной электроразведки, позволяющей проводить работы в условиях, исключающих или затрудняющих использование заземленных электродов.