Применение модификационного преобразования Фурье для моделирования вариаций поля силы тяжести

Введение. Анализ и обработка сигналов со сложной структурой, в частности частотно-фазовой модуляцией, представляет собой актуальную задачу, особенно в тех случаях, когда традиционные методы не обеспечивают достаточной точности. В работе рассматривается модифицированное Фурье-преобразование, подходящее для обработки сигналов с модулированными частотой и фазой, которые в статье обозначаются как частотно-фазово модулированные сигналы.

Цель. Разработка и применение модифицированного Фурье-преобразования для получения амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) сигналов с целью повышения точности подгонки сигналов и решения задач, связанных с моделированием откликов сложных систем.

Материалы и методы. Предложенное преобразование применяется напрямую к сигналу и благодаря своей строго периодической структуре позволяет получить АЧХ с высокой точностью. Метод был апробирован на гравиметрических данных, полученных с приборов ГНУ-KВ и CG-6. Эти данные представляют собой временные вариации гравитационного поля без тренда, что традиционно затрудняет их описание и интерпретацию.

Результаты. Показано, что предложенное преобразование эффективно справляется с задачей нахождения АЧХ ЧФМ-сигналов, включая те, что непосредственно присутствуют в структуре преобразования. Полученные результаты демонстрируют высокую точность подгонки, открывая новые возможности для анализа сложных систем без необходимости создания подробных физических моделей.

Заключение. Модифицированное Фурье-преобразование может служить полезным инструментом для построения подгоночных функций в форме АЧХ при исследовании сложных систем. В гравиметрии это открывает новые перспективы как для фундаментальных исследований, так и для решения прикладных геолого-геофизических задач.

1. Лобанов А.М., Белов А.П., Ерохин А.М., Венедиктов К.В. Алгоритм распознавания видеофайла для оцифровки колебаний аналогового индикатора на примере кварцевого гравиметра ГНУ-КВ. Известия высших учебных заведений. Геология и разведка. 2024. № 66(1). С. 128—134. DOI: 10.32454/0016-7762-2024-66-1-128-134

2. Нигматуллин Р.Р., Белов А.П., Ерохин А.М., Мухаметзянов А.Р., Конешов В.Н., Дробышев М.Н. Построение и анализ некоторых математических моделей, связанных с временными вариациями гравитационного поля. Известия высших учебных заведений. Геология и разведка. 2025. № 67(2) . С. 76—94.

3. Торге В. Гравиметрия. Пер. с англ.: Г.А. Шануров; ред. А.П. Юзефович. М.: Мир, 1999. 428 с.

4. Almeida L.B. The fractional Fourier transform and time-frequency representations. IEEE Trans. Signal Process. 1994. No. 42. P. 3084—3091.

5. Arecchi F., Meucci R., Puccioni G., Tredicce J. Experimental evidence of subharmonic bifurcations, multistability, and turbulence in a Q-switched gas la­ser. Phys. Rev. Lett. 1982. No. 49. P. 1217—1220.

6. Bhattacharyya A., Singh L., Pachori R.B. Fourier– Bessel series expansion based empirical wavelet transform for analysis of non-stationary signals. Digit. Signal Process. 2018. No. 78. P. 185—196.

7. Chaudhary P.K., Gupta V., Pachori R.B. Fourier-Bessel representation for signal processing: A review. Digit. Signal Process. 2023. No. 135. P. 103938.

8. Chen J., Chau K., Chan C., Jiang Q. Subharmonics and chaos in switched reluctance motor drives. IEEE Trans. Energy Convers. 2002. No. 17. P. 73—78.

9. Cohen L. Time-Frequency Analysis; Prentice Hall Press: NJ, USA, 1995. Vol. 778.

10. De Souza U.B., Escola J.P.L., da Cunha Brito L. A survey on Hilbert-Huang transform: Evolution, challenges and solutions. Digit. Signal Process. 2022. No. 120. P. 103292.

11. Hlubina P., Luňáček J., Ciprian D., Chlebus R. Windowed Fourier transform applied in the wavelength domain to process the spectral interference signals. Opt. Commun. 2008. No. 281. P. 2349—2354.

12. Huang N.E., Shen Z., Long S.R., Wu M.C., Shih H.H., Zheng Q., Yen N.C., Tung C.C., Liu H.H. The empiri­cal mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analy­sis. Proc. R. Soc. Lond. A Math. Phys. Eng. Sci. 1998. No. 454. P. 903—995.

13. Kemao Q. Windowed Fourier transform for fringe pat­tern analysis. Appl. Opt. 2004. No. 43. P. 2695—2702.

14. Kumar A. Wavelet signal processing: A review for re­cent applications. Int. J. Eng. Tech. 2020. No. 6. P. 12.

15. Li M., Liu Y., Zhi S., Wang T., Chu F. Short-time Fourier transform using odd symmetric window function. J. Dyn. Monit. Diagn. 2022. No. 1. P. 37—45.

16. Lauterborn W., Cramer E. Subharmonic route to chaos observed in acoustics. Phys. Rev. Lett. 1981. No. 47. P. 1445.

17. Mallat S. A Wavelet Tour of Signal Processing, 3rd ed.; Academic Press: Burlington, MA, USA, 1999.

18. Mertins, A. Signal Analysis: Wavelets, Filter Banks, Time-Frequency Transforms and Applications. Wiley: Chichester, UK, 1999.

19. Nigmatullin R.R., Alexandrov V., Agarwal P., Shilpi J., Necati O. Description of Multi-Periodic Signals Generated By Complex Systems: NOCFASS — New Possibilities of the Fourier Analysis. Numerical Algebra, Control and Optimization. March 2024. Vol. 14. No. 1. P. 1—19. DOI: 10.3934/naco.2022008

20. Peng Z.K., Peter W.T., Chu F.L. A comparison study of improved Hilbert–Huang transform and wavelet transform: Application to fault diagnosis for rolling bearing. Mech. Syst. Signal Process. 2005. No. 19. P. 974—988.

21. Portnoff M. Time-frequency representation of digi­tal signals and systems based on short-time Fourier analysis. IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process. 1980. No. 28. P. 55—69.

22. Qian S., Chen D. Discrete Gabor transform. IEEE Trans. Signal Process. 1993. No. 41. P. 2429—2438.

23. Qian S., Chen, D. Joint time-frequency analysis. IEEE Signal Process. Mag. 1999. No. 16. P. 52—67.

24. Sejdić E., Djurović I., Stanković L. Fractional Fourier transform as a signal processing tool: An overview of recent developments. Signal Process. 2011. No. 91. P. 1351—1369.

25. Su X., Tao R., Kang X. Analysis and comparison of dis­crete fractional Fourier transforms. Signal Process. 2019 No. 160. P. 284—298.

26. Wilden I., Herzel H., Peters G., Tembrock G. Subharmonics, biphonation, and deterministic chaos in mam­mal vocalization. Bioacoustics 1998. No. 9. P. 171—196.

27. Wu Z., Huang N.E. Ensemble empirical mode decom­position: A noise-assisted data analysis method. Adv. Adapt. Data Anal. 2009. No. 1. P. 1—41.

28. Yan R., Gao R.X., Chen X. Wavelets for fault diagnosis of rotary machines: A review with applications. Signal Process. 2014. No. 96. P. 1—15.

29. Yao J., Krolak P., Steele C. The generalized Gabor transform. IEEE Trans. Image Process. 1995. No. 4. P. 978—988.

30. Zayed A.I. Hilbert transform associated with the fractional Fourier transform. IEEE Signal Process. Lett. 1998. No. 5. P. 206—208.

31. Zhao Z., Tao R., Li G., Wang Y. Clustered fractional Gabor transform. Signal Process. 2020. No. 166. P. 107240.