Ниже приведены результаты математического моделирования для следующих условий. На рисунке 1 показана линия AB гармонически меняющегося со временем электрического тока I = I0×cos (2πft) = I0×cos (ωt) с заземленными токовыми электродами A, B. Здесь I0 — амплитуда тока, f — частота, t — время, ω — круговая частота. Линия AB лежит на границе S однородного нижнего проводящего полупространства V2 с удельным электрическим сопротивлением ρ2 и верхнего полупространства V1 (воздух). Электроды A, B лежат на оси X декартовых координат, их координаты: xA = AB/2 и xB = -AB/2. Ось Z ортогональна плоскости S и направлена в полупространство V2.

В электроразведке для определения компонент переменного магнитного поля служат определенным образом ориентированные магнитно-индуктивные датчики (МИД) (см. рис. 1). Вычисляемыми при моделировании величинами были характеристики вертикальной компоненты Hz магнитного поля H на высоте h над границей S. Это — амплитуда меняющейся синфазно либо в противофазе с током I реактивной составляющей Re Hz, амплитуда отличающейся по фазе на ±π/2 от тока I активной составляющей Im Hz, амплитуда |Hz| = [(Re Hz)2+(Im Hz)2]1/2 компоненты Hz и начальная фаза φHz этой компоненты. Основной целью моделирования было выяснить, какие из этих характеристик наиболее «чувствительны» к удельному электрическому сопротивлению ρ2 проводящего полупространства.

Основой при математическом моделировании послужило решение прямой задачи о поле горизонтального элементарного отрезка dl гармонически меняющегося тока I (переменного горизонтального электрического диполя) в присутствии горизонтальной границы S. Возможный подход к решению такой задачи был описан в [5], а ее решение есть в [1]. Впервые полученные на основе этого решения прямой задачи результаты математического моделирования для электрической составляющей электромагнитного поля и кажущегося удельного сопротивления приведены в [6].

Для описанной выше модели в верхнем полупространстве V1 вертикальную компоненту Hz(1) магнитного поля заземленной линии AB гармонически меняющегося тока I по отрезку (xB, xA) оси X определяет двойной интеграл, причем интеграл по Λ — несобственный интеграл в смысле главного значения:

где  k1 и k2 — волновые

числа в верхнем и нижнем полупространствах, x, y, z = -h — координаты точки наблюдения (центра МИД), а J1(Λ×r) — функция Бесселя первого рода первого порядка аргумента Λ×r. При вычислении несобственного интеграла в смысле главного значения было применено приведенное в работе [4] преобразование Эйлера.

На рисунке 2а показана карта реактивной составляющей Re Hz (при высоте h = 10 м и частоте f = 10 кГц). Как было бы и в случае постоянного тока I в линии AB, над осью X, на которой лежит линия AB, компонента Re Hz меняет знак, а абсолютная величина |Re Hz| убывает с удалением от линии AB. Карта активной составляющей Im Hz компоненты Hz приведена на рисунке 2б. При сравнении этих карт видим, что при заданной при расчетах частоте при небольших величинах |y| значения |Re Hz| примерно на порядок выше величин |Im Hz|. Но при больших расстояниях |y|, наоборот, |Im Hz|>>|Re Hz|.

Но в какой степени величины |Re Hz| и |Im Hz| зависят от значений удельного электрического сопротивления ρ2, которые в первую очередь в рамках показанной на рисунке 1 модели могут быть искомыми при интерпретации результатов измерений?

На рисунках 3а, б приведены зависимости от координаты y амплитуд составляющих Re Hz и Im Hz при x = 0 и z = -h. То есть это графики по «профилю», ортогональному токовой линии AB и «проходящему» на высоте h над центром этой линии при нескольких значениях удельного электрического сопротивления ρ2.

На рисунке 3а видим, что при заданных частоте f и параметрах модели значения ρ2 оказывают значительное влияние на величину |Re Hz| при |y| >> h и в пределах изменения значений ρ2 от 100 до 1000 Ом×м. Из приведенных на рисунке 3б результатов моделирования следует, что при широких пределах изменения ρ2 (от 5 до 5000 Ом×м) значения |Im Hz|, а также особенности конфигурации графиков |Im Hz|(y) существенно зависят от удельного электрического сопротивления ρ2.

На рисунках 4а, б приведены зависимости от y амплитуды |Hz| = [(Re Hz)2+(Im Hz)2]1/2 и начальной фазы φHz компоненты Hz при y > 0. Видим, что при высоких удельных электрических сопротивлениях ρ2 значения φHz в большей степени, чем |Hz|, зависят от величины ρ2. Например, при y = 300 м и увеличении значения ρ2 с 1000 до 5000 Ом×м величина |Hz| меняется в узких пределах — от 0,22 до 0,31 мА/м. При этих же условиях начальная фаза φHz уменьшается с 42о до 14о.

Очевидно, что определение ρк по реактивной составляющей Re EMN напряжения EMN может позволить значительно расширить область применения бесконтактной модификации электроразведки методом сопротивлений. Из полученных результатов моделирования следует, что при возбуждении гармонически меняющегося электромагнитного поля заземленной линией AB электрического тока I наиболее «чувствительными» к удельному электрическому сопротивлению ρ2 проводящего полупространства в условиях применения БПЛА являются активная составляющая Im Hz и начальная фаза φHz вертикальной компоненты магнитного поля в воздухе. Хотя, по-видимому, проще проводить измерения величины |Hz|.

По рассмотренной в этой работе проблематике дальнейшие исследования, по нашему мнению, следует провести по следующим направлениям:

1) разработка алгоритмов и проведение численных расчетов для 3D-моделей среды при условиях, когда на характеристики переменного магнитного поля в воздухе оказывают влияние приповерхностные локальные объекты, отличающиеся от вмещающей эти объекты среды по удельному электрическому сопротивлению;

2) проведение физического моделирования с измерением различных составляющих переменного магнитного поля в воздухе.