geologyИзвестия высших учебных заведений. Геология и разведкаProceedings of higher educational establishments. Geology and Exploration0016-77622618-8708Sergo Ordzhonikidze Russian State University for Geological Prospecting10.32454/0016-7762-2025-67-4-87-101geology-1232Research ArticleГЕОФИЗИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПОИСКОВ И РАЗВЕДКИGEOPHYSICAL METHODS OF PROSPECTING AND EXPLORATIONПрименение модификационного преобразования Фурье для моделирования вариаций поля силы тяжестиApplication of a modified fou rier transformation for modeling variations in the gravity fieldhttps://orcid.org/0000-0003-2931-4428НигматуллинР. Р.NigmatullinR. R.

Нигматуллин Равиль Рашидович — доктор физико-математических наук, профессор

10, ул. К. Маркса, г. Казань, 420111

Raoul R. Nigmatullin — Dr. Sci. (Phys.-Math.), Professor

10, K. Marx str., Kazan, 420111

renigmat@gmail.comhttps://orcid.org/0009-0005-0083-9441БеловА. П.BelovA. P.

Белов Алексей Павлович — кандидат геолого-минералогических наук, доцент

23, ул. Миклухо-Маклая, г. Москва 117997

тел.: +7 (495) 255-15-10, доб. 21-52

Alexey P. Belov — Cand. Sci. (Geol.-Mineral.), Assoc. Prof.

23, Miklukho-Maklaya str., Moscow 117997

tel.: +7 (495) 255-15-10, ext. 21-52

belovap@mgri.ruhttps://orcid.org/0000-0001-9772-1821ЕрохинА. М.ErokhinA. M.

Ерохин Александр Михайлович — заместитель начальника управления ИТ по научно-исследовательской работе

4, корп. 2, ул. Макарова, г. Тверь 170002

тел.: + 7 (915) 724-82-76

Alexandr M. Erokhin — Deputy Head of the IT Department for Research and Development

4, bld. 2, Makarova str., Tver, 170002

tel.: + 7 (915) 724-82-76

erokhin_am@petroviser.ruhttps://orcid.org/0009-0000-3283-7495ПетровА. В.PetrovA. V.

Петров Алексей Владимирович — доктор физико-математических наук, профессор факультета геологии и геофизики нефти и газа

23, ул. Миклухо-Маклая, г. Москва 117997

тел.: +7 (916) 604-55-01

Alexey V. Petrov — Dr. Sci. (Phys. and Math.), Prof., Faculty of Geology and Geophysics of Oil and Gas

23, Miklukho-Maklaya str., Moscow 117997

tel.: +7 (916) 604-55-01

petrovstud@mail.ruФГБОУ ВО «Казанский национальный исследовательский технический университет» им. А.Н. Туполева (КНИТУ-КАИ)РоссияA.N. Tupolev Kazan National Research Technical University (KNRTU-KAI)Russian FederationФГБОУ ВО «Российский государственный геологоразведочный университет имени Серго Орджоникидзе»РоссияSergo Ordzhonikidze Russian State University for Geological ProspectingRussian FederationООО «Петровайзер»РоссияPetroviser LLCRussian Federation20250201202667487101Copyright © Нигматуллин Р.Р., Белов А.П., Ерохин А.М., Петров А.В., 20252025Нигматуллин Р.Р., Белов А.П., Ерохин А.М., Петров А.В.Nigmatullin R.R., Belov A.P., Erokhin A.M., Petrov A.V.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://www.geology-mgri.ru/jour/article/view/1232Введение

Введение. Анализ и обработка сигналов со сложной структурой, в частности частотно-фазовой модуляцией, представляет собой актуальную задачу, особенно в тех случаях, когда традиционные методы не обеспечивают достаточной точности. В работе рассматривается модифицированное Фурье-преобразование, подходящее для обработки сигналов с модулированными частотой и фазой, которые в статье обозначаются как частотно-фазово модулированные сигналы.

Цель

Цель. Разработка и применение модифицированного Фурье-преобразования для получения амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) сигналов с целью повышения точности подгонки сигналов и решения задач, связанных с моделированием откликов сложных систем.

Материалы и методы

Материалы и методы. Предложенное преобразование применяется напрямую к сигналу и благодаря своей строго периодической структуре позволяет получить АЧХ с высокой точностью. Метод был апробирован на гравиметрических данных, полученных с приборов ГНУ-KВ и CG-6. Эти данные представляют собой временные вариации гравитационного поля без тренда, что традиционно затрудняет их описание и интерпретацию.

Результаты

Результаты. Показано, что предложенное преобразование эффективно справляется с задачей нахождения АЧХ ЧФМ-сигналов, включая те, что непосредственно присутствуют в структуре преобразования. Полученные результаты демонстрируют высокую точность подгонки, открывая новые возможности для анализа сложных систем без необходимости создания подробных физических моделей.

Заключение

Заключение. Модифицированное Фурье-преобразование может служить полезным инструментом для построения подгоночных функций в форме АЧХ при исследовании сложных систем. В гравиметрии это открывает новые перспективы как для фундаментальных исследований, так и для решения прикладных геолого-геофизических задач.

Introduction

Introduction. The analysis and processing of signals with complex structures — particularly those exhibiting frequency and phase modulation — remains a relevant challenge, especially in cases where traditional methods fail to provide sufficient accuracy. This study considers a modified Fourier transformation suitable for processing signals with modulated frequency and phase, referred to in the article as frequency-phase modulated (FPM) signals.

Objective

Objective. To develop and apply a modified Fourier transformation for obtaining the amplitude-frequency characteristics (AFC) of FPM signals, aiming to improve the accuracy of signal fitting and to address problems related to modeling the responses of complex systems.

Materials and methods

Materials and methods. The proposed transformation is applied directly to FPM signals and, due to its strictly periodic structure, enables the accurate determination of their AFC. The method was tested on gravimetric data acquired using the GNU-KB and CG-6 gravimeters. These data represent detrended temporal fluctuations of the gravity field, which are typically difficult to describe and interpret using conventional methods.

Results

Results. It has been demonstrated that the proposed transformation effectively addresses the problem of determining the AFC of FPM signals, including those embedded within the transformation itself. The results show a high degree of fitting accuracy, thereby offering new opportunities for analyzing the responses of complex systems without the need for detailed physical modeling.

Conclusion

Conclusion. The modified Fourier transformation may serve as a valuable tool for constructing fitting functions in the form of AFCs when studying complex systems. In gravimetry, this approach opens new prospects for both fundamental research and the solution of applied geological and geophysical problems.

частотно-фазовый модулированный сигнал (ЧФМ)амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)временные вариации гравитационного полягравиметрыfrequency-phase modulated signal (FPM)amplitude-frequency characteristic (AFC)temporal gravity field variationsgravimetersReferencesЛобанов А.М., Белов А.П., Ерохин А.М., Венедиктов К.В. Алгоритм распознавания видеофайла для оцифровки колебаний аналогового индикатора на примере кварцевого гравиметра ГНУ-КВ. Известия высших учебных заведений. Геология и разведка. 2024. № 66(1). С. 128—134. DOI: 10.32454/0016-7762-2024-66-1-128-134Lobanov A.M., Belov A.P., Erokhin A.M., Venediktov K.V. An Algorithm for Video File Recognition for Digitizing Oscillations of an Analog Indicator Using the GNU-KB Quartz Gravimeter as an Example. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedeniy. Geologiya i Razvedka. 2024. No. 66(1). P. 128—134 (In Russ.). DOI: 10.32454/0016-7762-2024-66-1-128-134Нигматуллин Р.Р., Белов А.П., Ерохин А.М., Мухаметзянов А.Р., Конешов В.Н., Дробышев М.Н. Построение и анализ некоторых математических моделей, связанных с временными вариациями гравитационного поля. Известия высших учебных заведений. Геология и разведка. 2025. № 67(2) . С. 76—94.Nigmatullin R.R., Belov A.P., Erokhin A.M., Mukhamet-zyanov A.R., Koneshov V.N., Drobyshev M.N. Construction and Analysis of Some Mathematical Models Related to Temporal Variations in the Gravity Field. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedeniy. Geologiya i Razvedka. 2025. No. 67(2). P. 76—94 (In Russ.).Торге В. Гравиметрия. Пер. с англ.: Г.А. Шануров; ред. А.П. Юзефович. М.: Мир, 1999. 428 с.Torge W. Gravimetry. Translated from English by G.A. Shanurov; edited by A.P. Yuzefovich. Moscow: Mir Publ., 1999. 428 p. (In Russ.).Almeida L.B. The fractional Fourier transform and time-frequency representations. IEEE Trans. Signal Process. 1994. No. 42. P. 3084—3091.Almeida L.B. The fractional Fourier transform and time-frequency representations. IEEE Trans. Signal Process. 1994. No. 42. P. 3084—3091.Arecchi F., Meucci R., Puccioni G., Tredicce J. Experimental evidence of subharmonic bifurcations, multistability, and turbulence in a Q-switched gas la­ser. Phys. Rev. Lett. 1982. No. 49. P. 1217—1220.Arecchi F., Meucci R., Puccioni G., Tredicce J. Experimental evidence of subharmonic bifurcations, multistability, and turbulence in a Q-switched gas laser. Phys. Rev. Lett. 1982. No. 49. P. 1217—1220.Bhattacharyya A., Singh L., Pachori R.B. Fourier– Bessel series expansion based empirical wavelet transform for analysis of non-stationary signals. Digit. Signal Process. 2018. No. 78. P. 185—196.Bhattacharyya A., Singh L., Pachori R.B. Fourier– Bessel series expansion based empirical wavelet transform for analysis of non-stationary signals. Digit. Signal Process. 2018. No. 78. P. 185—196.Chaudhary P.K., Gupta V., Pachori R.B. Fourier-Bessel representation for signal processing: A review. Digit. Signal Process. 2023. No. 135. P. 103938.Chaudhary P.K., Gupta V., Pachori R.B. Fourier-Bessel representation for signal processing: A review. Digit. Signal Process. 2023. No. 135. P. 103938.Chen J., Chau K., Chan C., Jiang Q. Subharmonics and chaos in switched reluctance motor drives. IEEE Trans. Energy Convers. 2002. No. 17. P. 73—78.Chen J., Chau K., Chan C., Jiang Q. Subharmonics and chaos in switched reluctance motor drives. IEEE Trans. Energy Convers. 2002. No. 17. P. 73—78.Cohen L. Time-Frequency Analysis; Prentice Hall Press: NJ, USA, 1995. Vol. 778.Cohen L. Time-Frequency Analysis; Prentice Hall Press: NJ, USA, 1995. Vol. 778.De Souza U.B., Escola J.P.L., da Cunha Brito L. A survey on Hilbert-Huang transform: Evolution, challenges and solutions. Digit. Signal Process. 2022. No. 120. P. 103292.De Souza U.B., Escola J.P.L., da Cunha Brito L. A sur­vey on Hilbert-Huang transform: Evolution, challenges and solutions. Digit. Signal Process. 2022. No. 120. P. 103292.Hlubina P., Luňáček J., Ciprian D., Chlebus R. Windowed Fourier transform applied in the wavelength domain to process the spectral interference signals. Opt. Commun. 2008. No. 281. P. 2349—2354.Hlubina P., Luňáček J., Ciprian D., Chlebus R. Windowed Fourier transform applied in the wavelength domain to process the spectral interference signals. Opt. Commun. 2008. No. 281. P. 2349—2354.Huang N.E., Shen Z., Long S.R., Wu M.C., Shih H.H., Zheng Q., Yen N.C., Tung C.C., Liu H.H. The empiri­cal mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series analy­sis. Proc. R. Soc. Lond. A Math. Phys. Eng. Sci. 1998. No. 454. P. 903—995.Huang N.E., Shen Z., Long S.R., Wu M.C., Shih H.H., Zheng Q., Yen N.C., Tung C.C., Liu H.H. The empir­ical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and non-stationary time series ana­lysis. Proc. R. Soc. Lond. A Math. Phys. Eng. Sci. 1998. No. 454. P. 903—995.Kemao Q. Windowed Fourier transform for fringe pat­tern analysis. Appl. Opt. 2004. No. 43. P. 2695—2702.Kemao Q. Windowed Fourier transform for fringe pattern analysis. Appl. Opt. 2004. No. 43. P. 2695— 2702.Kumar A. Wavelet signal processing: A review for re­cent applications. Int. J. Eng. Tech. 2020. No. 6. P. 12.Kumar A. Wavelet signal processing: A review for recent applications. Int. J. Eng. Tech. 2020. No. 6. P. 12.Li M., Liu Y., Zhi S., Wang T., Chu F. Short-time Fourier transform using odd symmetric window function. J. Dyn. Monit. Diagn. 2022. No. 1. P. 37—45.Li M., Liu Y., Zhi S., Wang T., Chu F. Short-time Fourier transform using odd symmetric window function. J. Dyn. Monit. Diagn. 2022. No. 1. P. 37—45.Lauterborn W., Cramer E. Subharmonic route to chaos observed in acoustics. Phys. Rev. Lett. 1981. No. 47. P. 1445.Lauterborn W., Cramer E. Subharmonic route to chaos observed in acoustics. Phys. Rev. Lett. 1981. No. 47. P. 1445.Mallat S. A Wavelet Tour of Signal Processing, 3rd ed.; Academic Press: Burlington, MA, USA, 1999.Mallat S. A Wavelet Tour of Signal Processing, 3rd ed.; Academic Press: Burlington, MA, USA, 1999.Mertins, A. Signal Analysis: Wavelets, Filter Banks, Time-Frequency Transforms and Applications. Wiley: Chichester, UK, 1999.Mertins, A. Signal Analysis: Wavelets, Filter Banks, Time-Frequency Transforms and Applications. Wiley: Chichester, UK, 1999.Nigmatullin R.R., Alexandrov V., Agarwal P., Shilpi J., Necati O. Description of Multi-Periodic Signals Generated By Complex Systems: NOCFASS — New Possibilities of the Fourier Analysis. Numerical Algebra, Control and Optimization. March 2024. Vol. 14. No. 1. P. 1—19. DOI: 10.3934/naco.2022008Nigmatullin R.R., Alexandrov V., Agarwal P., Shilpi J., Necati O. Description of Multi-Periodic Signals Generated By Complex Systems: NOCFASS — New Possibilities of the Fourier Analysis. Numerical Algebra, Control and Optimization. March 2024. Vol. 14. No. 1. P. 1—19. DOI: 10.3934/naco.2022008Peng Z.K., Peter W.T., Chu F.L. A comparison study of improved Hilbert–Huang transform and wavelet transform: Application to fault diagnosis for rolling bearing. Mech. Syst. Signal Process. 2005. No. 19. P. 974—988.Peng Z.K., Peter W.T., Chu F.L. A comparison study of improved Hilbert–Huang transform and wavelet transform: Application to fault diagnosis for rolling bearing. Mech. Syst. Signal Process. 2005. No. 19. P. 974—988.Portnoff M. Time-frequency representation of digi­tal signals and systems based on short-time Fourier analysis. IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process. 1980. No. 28. P. 55—69.Portnoff M. Time-frequency representation of digital signals and systems based on short-time Fourier analysis. IEEE Trans. Acoust. Speech Signal Process. 1980. No. 28. P. 55—69.Qian S., Chen D. Discrete Gabor transform. IEEE Trans. Signal Process. 1993. No. 41. P. 2429—2438.Qian S., Chen D. Discrete Gabor transform. IEEE Trans. Signal Process. 1993. No. 41. P. 2429—2438.Qian S., Chen, D. Joint time-frequency analysis. IEEE Signal Process. Mag. 1999. No. 16. P. 52—67.Qian S., Chen, D. Joint time-frequency analysis. IEEE Signal Process. Mag. 1999. No. 16. P. 52—67.Sejdić E., Djurović I., Stanković L. Fractional Fourier transform as a signal processing tool: An overview of recent developments. Signal Process. 2011. No. 91. P. 1351—1369.Sejdić E., Djurović I., Stanković L. Fractional Fourier transform as a signal processing tool: An overview of recent developments. Signal Process. 2011. No. 91. P. 1351—1369.Su X., Tao R., Kang X. Analysis and comparison of dis­crete fractional Fourier transforms. Signal Process. 2019 No. 160. P. 284—298.Su X., Tao R., Kang X. Analysis and comparison of dis­crete fractional Fourier transforms. Signal Process. 2019 No. 160. P. 284—298.Wilden I., Herzel H., Peters G., Tembrock G. Subharmonics, biphonation, and deterministic chaos in mam­mal vocalization. Bioacoustics 1998. No. 9. P. 171—196.Wilden I., Herzel H., Peters G., Tembrock G. Subharmonics, biphonation, and deterministic chaos in mammal vocalization. Bioacoustics 1998. No. 9. P. 171—196.Wu Z., Huang N.E. Ensemble empirical mode decom­position: A noise-assisted data analysis method. Adv. Adapt. Data Anal. 2009. No. 1. P. 1—41.Wu Z., Huang N.E. Ensemble empirical mode decom­position: A noise-assisted data analysis method. Adv. Adapt. Data Anal. 2009. No. 1. P. 1—41.Yan R., Gao R.X., Chen X. Wavelets for fault diagnosis of rotary machines: A review with applications. Signal Process. 2014. No. 96. P. 1—15.Yan R., Gao R.X., Chen X. Wavelets for fault diagnosis of rotary machines: A review with applications. Signal Process. 2014. No. 96. P. 1—15.Yao J., Krolak P., Steele C. The generalized Gabor transform. IEEE Trans. Image Process. 1995. No. 4. P. 978—988.Yao J., Krolak P., Steele C. The generalized Gabor transform. IEEE Trans. Image Process. 1995. No. 4. P. 978—988.Zayed A.I. Hilbert transform associated with the fractional Fourier transform. IEEE Signal Process. Lett. 1998. No. 5. P. 206—208.Zayed A.I. Hilbert transform associated with the frac­tional Fourier transform. IEEE Signal Process. Lett. 1998. No. 5. P. 206—208.Zhao Z., Tao R., Li G., Wang Y. Clustered fractional Gabor transform. Signal Process. 2020. No. 166. P. 107240.Zhao Z., Tao R., Li G., Wang, Y. Clustered fractional Gabor transform. Signal Process. 2020. No. 166. P. 107240.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.